vi phân khác đạo hàm

1 CHƯƠNG 5 : PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 5.1 Hàm nhiều biến : 5.1.1 Khái niệm 1. Định nghĩa : Cho D ⊂ R n , ánh xạ f : D Æ R là một hàm nhiều biến xác định trên D f: D Æ R M a u = f (M) với M (x 1 ,x 2 ,…, x n ) ∈ D • D : miền xác định của f • f (D) ⊂ R : miền giá trị của 1.3.4 Một số định nghĩa đạo hàm cấp phân số khác 1.3.4.1 Đạo hàm cấp phân số dạng dãy (dạng Miller - Ross) Định nghĩa d = D p ( 0 ≤ p ≤ 1) ; dt Dtnp f ( t ) = Dtp Dtp K Dtp f ( t ) , 1 44 2 4 43 \* MERGEFORMAT (.) p Phương trình trên được gọi là đạo hàm cấp phân số dạng dãy. Bài tập tính đạo hàm các hàm số lượng giác lớp 11 Để hiểu và vận dụng linh hoạt các quy tắc tính đạo hàm, các em hãy tìm hiểu qua những ví dụ sau: Ví dụ 1: Đạo hàm của hàm số y = 1/ (cos²x - sin²x) là : A. y' = 2sin2x/cos²2x B. y' = 2cos2x/cos²2x C. y' = cos2x/cos²2x D. y' = sin2x/cos²2x . Hướng dẫn giải: y = 1/ (cos²x - sin²x) = 1/cos2x. Khái niệm phân phối mẫu là rất quan trọng và sẽ được thảo luận và minh họa ở phần sau. (θ) lớn nhất thông thường là khá phức tạp. Muốn tìm θ, ta sẽ đạo hàm L(θ) theo θ, cho nó bằng 0 và giải phương trình. Tuy nhiên, L(θ) ở dạng tích và đạo hàm của một tích VI PHÂN - ĐẠO HÀM CẤP CAO . A. Lí thuyết cơ bản 1. Vi phân. a) Định nghĩa: Cho hàm số xác định trên và có đạo hàm tại .. Cho số gia tại sao cho .. Ta gọi tích (hoặc ) là vi phân của hàm số tại x ứng với số gia và ký hiệu là dy hoặc .Như vậy, ta có: Ich Möchte Dich Besser Kennenlernen Englisch. Sự khác biệt giữa Đạo hàm và Vi phân Tác Giả Monica Porter Ngày Sáng TạO 18 Hành Khúc 2021 CậP NhậT Ngày Tháng 10 Tháng Sáu 2023 Sự khác biệt giữa Đạo hàm và Vi phân - Khoa HọC Đạo hàm so với Vi sai Trong phép tính vi phân, đạo hàm và vi phân của một hàm có quan hệ chặt chẽ với nhau nhưng có ý nghĩa rất khác nhau, và được sử dụng để biểu diễn hai đối tượng toán học quan trọng liên quan đến các hàm phân hàm là gì?Đạo hàm của một hàm đo tốc độ mà giá trị hàm thay đổi khi đầu vào của nó thay đổi. Trong hàm nhiều biến, sự thay đổi giá trị của hàm phụ thuộc vào hướng thay đổi giá trị của các biến độc lập. Do đó, trong những trường hợp như vậy, một hướng cụ thể được chọn và chức năng được phân biệt theo hướng cụ thể đó. Đạo hàm đó được gọi là đạo hàm có hướng. Các dẫn xuất từng phần là một loại dẫn xuất có hướng đặc hàm của một hàm có giá trị vectơ f có thể được định nghĩa là giới hạn bất cứ nơi nào nó tồn tại hữu hạn. Như đã đề cập trước đây, điều này cho chúng ta tỷ lệ gia tăng của hàm f dọc theo hướng của vectơ u. Trong trường hợp của một hàm có giá trị đơn, điều này rút gọn thành định nghĩa nổi tiếng về đạo hàm, Ví dụ, ở mọi nơi đều có thể phân biệt được và đạo hàm bằng với giới hạn, , bằng . Các đạo hàm của các hàm như tồn tại ở mọi nơi. Chúng tương ứng bằng các hàm . Đây được gọi là đạo hàm đầu tiên. Thường là đạo hàm bậc nhất của hàm f được ký hiệu bởi f 1. Bây giờ sử dụng ký hiệu này, có thể xác định các dẫn xuất bậc cao hơn. là đạo hàm có hướng bậc hai và biểu thị nthứ tự dẫn xuất bởi f n cho mỗi n, , xác định nthứ tự phát sinh. Vi sai là gì?Vi phân của một hàm thể hiện sự thay đổi của hàm đối với những thay đổi trong biến hoặc các biến độc lập. Trong ký hiệu thông thường, đối với một hàm đã cho f của một biến duy nhất x, tổng chênh lệch của bậc 1 df là được cho bởi, . Điều này có nghĩa là đối với một thay đổi nhỏ trong xtức là dx, sẽ có mộtf 1x dx Thay đổi trong f. Sử dụng giới hạn người ta có thể kết thúc với định nghĩa này như sau. Giả sử x là sự thay đổi trong x tại một điểm tùy ý x và f là thay đổi tương ứng trong chức năng f. Có thể chứng minh rằng f = f 1xx+ ϵ, trong đó ϵ là lỗi. Bây giờ, giới hạn x →0f/x= f 1x sử dụng định nghĩa về đạo hàm đã nêu trước đây và do đó, x →0ϵ/x= 0. Do đó, có thể kết luận rằng, x →0ϵ = 0. Bây giờ, biểu thị x →0 f như df và x →0 x như dx định nghĩa của vi phân được thu được một cách chặt dụ, vi phân của hàm Là .Trong trường hợp hàm của hai hoặc nhiều biến, tổng vi phân của một hàm được định nghĩa là tổng vi phân theo hướng của mỗi biến độc lập. Về mặt toán học, nó có thể được phát biểu là .Sự khác biệt giữa đạo hàm và vi phân là gì?• Đạo hàm đề cập đến tốc độ thay đổi của một hàm trong khi vi phân đề cập đến sự thay đổi thực tế của hàm, khi biến độc lập chịu sự thay đổi.• Đạo hàm được cho bởi , nhưng sự khác biệt được đưa ra bởi . Đạo hàm và vi phân Danh mục Toán học ... 13Bài tiểu luận toán cao cấp C2 GVHD Võ Thị Thanh HàCHƯƠNG I ĐẠO HÀM VÀ VI THUYẾT Đạo hàm riêngĐịnh nghĩaCho hàm 2 biến f yxfZyxRXRX,,22=→⊆→ X tập xác ... − == = == = − =Ta có 22*2 0 4 0AC B = − = − = > Hàm có cực trị. Và A = 2 > 0 Hàm đạt cực tiểu tại điểm M1,0Câu 18 Cho hàm 4 2 28 5z x x y= − + + Tìm cực trị?GiảiTrang 8Bài ... kiện cần Giả sử xo,yo là cực trị của hàm z = fx,y với điều kiện 0,=yxϕ. Ta giả thiết thêm các hàm fx,y ; yx,ϕ có các đạo hàm riêng liên tục trong lân cận của điểm xo,yo.... 19 2,649 15 Chuong 1 Dao ham va vi phan ham nhieu bien Danh mục Toán học ... − + − + − = . . .Chương 1Chương 1 Đạo hàm và vi phân của hàm nhiều biến Đạo hàm và vi phân của hàm nhiều biếnKHÔNG GIAN Rn1 Chuẩn và khoảng cách mêtric trong R n { ... thì hàm gọi là khả vi tại có các tính chất sau • f khả vi tại xo thì liên tục tại xo.• f khả vi tại xo thì có đạo hàm riêng tại xo, oiif xAx=• f có các đạo hàm ... , ,CÔNG THỨC TAYLOR HÀM NHIỀU BIẾN1 Công thức đạo hàm hàm hợp • Cho hàm z f x y x x t y y t= = =, , ,. Ta lập công thức tính dzdtGiả sử z có các đạo hàm riêng liên tục trong... 30 1,844 22 Đạo hàm và vi phân của hàm một biến thực Danh mục Toán học ... →cosx2sin2xChương 3ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂNCỦA HÀM MỘT BIẾN Đạo hàm - Đạo hàm cấp Định nghĩaCho hàm f xác định trên Nδx0. Ta nói f có đạo hàm tại x0nếu tồn tại giớihạn ... 49 Đạo hàm cấp cao Giả sử f khả vi trên khoảng a; b. Lúc đó flà một hàm sốtrên a; b. Hàm số này có thể lại có đạo hàm. Nếu đạo hàm đó tồn tại ta gọi đólà đạo hàm cấp hai của f, và ký ... nhưngdx lúc đó là vi phân của hàm x = ϕt. Ta nói vi phân bậc nhất có tính bất biếnđối với phép đổi dụng vi phân để tính gần đúng giá trị của hàm. Từ định nghĩa vi phân ta có, với số... 15 1,077 2 Giải Tích 1 - Đạo Hàm và Vi Phân Danh mục Toán học ... nghĩa đạo hàm cấp cao Đạo hàm của hàm y = fx là một hàm số. ''' ' f x f x=Có thể lấy đạo hàm một lần nữa của đạo hàm cấp một, ta được khái niệm đạo hàm ... điểm x0 . Định lý Hàm số y = fx có đạo hàm tại điểm , khi và chỉ khi 0xnó có đạo hàm trái và đạo hàm phải tại điểm x0 và hai đạo hàm này bằng nhau. 8 '00 00 limxf ... −=0sin2limxxx− →=2= − Đạo hàm trái và đạo hàm phải không bằng nhau, nên đạo hàm tại x = 0 không tồn tại. 6 Định nghĩa đạo hàm phải Hàm số y = fx xác định trong lân cận... 87 5,150 75 Chương 1 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN pptx Danh mục Hóa học - Dầu khí ... thức tổng qt cho vi phân cấp caodnf = ddn-1f Vi phân cấp n là vi phân của vi phân cấp n – 1.Chỉ áp dụng khi f là biểu thức đơn giản theo x, y thường là hợp của 1 hàm sơ cấp với 1 ... 0,0xyx yf x yx yx y≠=+= Nội dung1 .Đạo hàm riêng cấp 1 của z = fx,y2 .Đạo hàm riêng cấp cao của z = fx,y khả vi và vi phân. Ví dụ , x yz f x y e+= = x ydz ... 0 0 , , , x ydf x y f x y dx f x y dy′ ′= + Vi phân của hàm 2 biến thường vi t dạngCác công thức tính vi phân như hàm 1 biến2 , , . d f df Rd f g df dgd f g... 38 2,872 12 Bài 2 ạo hàm và vi phân của một số biến doc Danh mục Toán học ... Giả sử hàm số y=fx khả vi trên một khoảng nào ó. Nhý thế vi phân dy=y’.dx là một hàm theo x trên khoảng ó và nếu hàm này khả vi thì vi phân của nó ýợc gọi là vi phân cấp 2 cuả y và ýợc ... hàm ngýợc ịnh lý Nếu hàm số y = yx có ạo hàm y’xo  0 và nếu có hàm ngýợc x = xy liên tục tại yo=yxo, thì hàm ngýợc có ạo hàm tại yo và 4. ạo hàm của hàm số có dạng y = uxvx ... hàm số hợp y = fux. Giả sử ux có ạo hàm tại xo và fu có ạo hàm tại uo=uxo. Khi ấy, hàm số y = fux có ạo hàm tại xo và y’xo = f’uo. u’xo. Ví dụ 3. ạo hàm của hàm... 16 1,202 5 bài giảng đạo hàm và vi phân Danh mục Toán học ... Đạo hàm và vi phân 0 0 .df x f x dx′=00 df xf xdx′=f khả vi tại x0 ⇔ f có đạo hàm tại x0 .Cách vi t thông thườngCách vi t khác của đạo hàm 0 0 ... có đạo hàm cấp 1 trong lân cận x0, nếu f’ có đạo hàm tại x0, đặtCó thể vi t Tổng quát đạo hàm cấp n là đạo hàm của đạo hàm cấp n – 14. Cạnh của khối lập phương tăng lên 1cm thì vi ... y = fx khả vi, x = xt khả vi ⇒ y = fxt khả vi theo t biến độc lập f x dx′=Dù x là biến độc lập hay hàm số, dạng vi phân của y theo x không đổi. Đạo hàm hàm ẩn Hàm số y = fx... 51 1,744 0 giáo án - bài giảng đạo hàm và vi phân Danh mục Toán học ... PM Đạo hàm - Vi phân 4C4. ĐẠO HÀM – VI Đạo hàm của hàm số ngượcNếu hàm số y = fx có đạo hàm tại x, f’x ≠ 0 và có hàm số ngược x = f-1y thì hàm số x = f-1y có đạo hàm ... dụ, tìm đạo hàm của y = arcsinx 05/13/14 0539 PM Đạo hàm - Vi phân 6C4. ĐẠO HÀM – VI Đạo hàm cấp cao Nếu hàm số y = fx có đạo hàm thì y’ = f’x gọi là đạo hàm cấp 1. Đạo hàm, nếu ... x11'xarccos2<−−=2x11'arctgx+=2x11'gxcotarc+−=05/13/14 0539 PM Đạo hàm - Vi phân 3C4. ĐẠO HÀM – VI Đạo hàm của tổng thương tích của hai hàm sốNếu các hàm số u, v có đạo hàm tại x thì1 u + v cũng có đạo hàm tại x và u + v’ =... 18 1,407 4 Công ty cổ phần Hà Bắc và so sánh sự giống và khác nhau giữa lí luận và thực tế Danh mục Kế toán ... nghiệpĐồng thời với vi c ghi vào sổ chi tiết TK 511, kế toán tiền hành ghi vào chứng từ ghi sổ. Đồng thời với vi c ghi vào sổ chi tiết kế toán tiến hành vào chứng từ ghi cứ vào hoá đơn GTGT ... Nhận xét, đánh giá thực trạng kế toán bán hàng tại Công ty cổ phần Hà Bắc và so sánh sự giống và khác nhau giữa lý luận và thực tế 38Dương Thuỳ Mai Lớp KT31B 45Báo cáo thực tập tốt nghiệpDương ... nghiệp vụ để lập chứng từ ghi sổ. Vi c ghi sổ tách rời giữa vi c theo thứ tự thời gian, ghi nhật ký và ghi theo hệ thống, giữ vi c ghi sổ kế toán tổng hợp và sổ kế toán chi Thuỳ... 45 2,621 4 Phân tích sự giống nhau và khác nhau giữa thuế, phí và lệ Danh mục Kinh tế - Thương mại ... hiện và ại diện cho lợi ích toàn xã hội. Tuy thuế, phí và lệ phí là nguồn thu của ngân sách nhưng có giữa chúng có sự giống nhau và khác nhau. Để hiểu rõ hơn vấn đề này em chọn đề tài Phân ... uỷ quyền phục vụ công vi c quản lý nhà nước được quy định trong Danh mục lệ phí do Nhà nước quy Sự giống nhau và khác nhau giữa thuế phí và lệ phí.* Sự giống nhau là khoản tiền phải ... nhau và khác nhau. Để hiểu rõ hơn vấn đề này em chọn đề tài Phân tích sự giống nhau và khác nhau giữa thuế, phí và lệ phí. Trình bầy tình hình thu thuế VAT tại một Công ty trách nhiệm hữu hạn”.1định... 11 1,431 1 Phân tích sự giống và khác nhau giữa thuế, phí và lệ phí. Trình bày tình hình thu thuế VAT tại một công ty TNHH Danh mục Kinh tế - Thương mại ... hiện và ại diện cho lợi ích toàn xã hội. Tuy thuế, phí và lệ phí là nguồn thu của ngân sách nhưng có giữa chúng có sự giống nhau và khác nhau. Để hiểu rõ hơn vấn đề này em chọn đề tài Phân ... nhau và khác nhau. Để hiểu rõ hơn vấn đề này em chọn đề tài Phân tích sự giống nhau và khác nhau giữa thuế, phí và lệ phí. Trình bầy tình hình thu thuế VAT tại một Công ty trách nhiệm hữu hạn”.1 ... quan trọng trong vi c giữ gìn uy tín cho sản phẩm cũng như công ty, đảm bảo quyền lợi cho khách hàng. Do đó, vi c kiểm tra định kỳ 3lần/ngày được thực hiện bởi các chuyên vi n được WatermanTM... 11 3,118 1 Thực trạng kế toán bán hàng tại công ty cổ phần Hà Bắc và so sánh sự giống và khác nhau giữa lí luận và thực tế Danh mục Kế toán ... Hà Bắc và so sánh sự giống và khác nhau giữa líluận và thực tếTrong những năm vừa qua, Công ty cổ phần Hà Bắc đà trải qua nhữnggiai đoạn thuận lợi và khó khăn, những bớc thăng trầm và nhiều ... nghiệpĐồng thời với vi c ghi vào sổ chi tiết TK 511, kế toán tiền hành ghi vàochứng từ ghi sổ. Đồng thời với vi c ghi vào sổ chi tiết kế toán tiến hành vàochứng từ ghi cứ vào hoá đơn GTGT ... tại Công tycổ phần Hà Bắc và so sánh sự giống và khác nhau giữa lí luận và thực thời gian có hạn nên báo cáo thực tập này không tránh khỏi nhữngthiếu sót và khiếm khuyết. Kính mong sự... 41 1,391 8 Xem thêm Bạn có muốn tìm thêm với từ khóa đạo hàm và vi phân của hàm số đạo hàm và vi phân toán cao cấp đạo hàm và vi phân cấp cao đạo hàm và vi phân của hàm số 1 biến số đạo hàm và vi phân của hàm số một biến đạo hàm và vi phân của hàm số một biến số bài tập toán cao cấp đạo hàm và vi phân bài tập đạo hàm và vi phân cấp cao đạo hàm và vi phân của hàm số nhiều biến số Mở đầu Bài này mình xin được giải thích bản chất của 3 khái niệm quan trọng bậc nhất trong đại số giải tích là đạo hàm, tích phân và vi phân để chỉ ra chúng có ý nghĩa như thế nào. Bài viết này sẽ không đi sâu vào chứng minh công thức, định nghĩa mà chỉ tập trung vào nói rõ bản chất của đạo hàm, tích phân và vi phân. Nếu bạn đã từng có một thời dữ dội cày đề đại học ngày xưa thì chắc không thể quên được bài toán đầu đề là khảo sát hàm số, tính tiếp tuyến đồ thị, bài toán tính đạo hàm hay tích phân. Lúc đó chúng ta chỉ cắm cúi vào cày đề chứ cũng ít ai quan tâm tới bản chất nó là cái gì, nó để làm gì và không hiểu tại sao nó lại có được công thức loằng ngoằng như thế. Thực ra nếu bạn hiểu tiếng hán của 3 từ đạo hàm, tích phân và vi phân thì bạn sẽ mường tượng được ý nghĩa của nó. Mình xin đi vào từng mục. Xét hàm số y = fx thì Đạo hàm Đạo tiếng hán 導 nghĩa là chỉ dẫn, chỉ đạo, nó cũng nằm trong các từ đạo diễn, chỉ đạo, lãnh đạo,... Hàm tiếng hán 函 nghĩa là bao hàm, cái để chứa vào, từ hàm này cũng chính là từ hàm trong từ hàm số. Gộp 2 từ lại bạn sẽ hiểu nó là một nơi chứa sự chỉ đạo, tức là thứ chỉ đạo sự biến thiên của hàm số fx là sẽ tăng hay giảm và tăng hay giảm nhanh hay chậm. Khi đề cập tới "đạo hàm" thì chúng ta mặc định đang nói về đạo hàm cấp 1, còn nếu muốn chỉ rõ là đạo hàm cấp lớn hơn 1 thì nói rõ ra nó là cấp mấy, ví dụ đạo hàm cấp 2, cấp 3,... Đạo hàm của fx là một thứ ký hiệu là f’x nhằm mô tả sự biến thiên tức thời của hàm fx tại một điểm x xác định nào đó. Giá trị của đạo hàm tại x0 chính là giá trị của độ dốc hay hệ số góc của đường tiếp tuyến với hàm số fx tại x0 xem phần độ dốc phía dưới. Nếu tại điểm x0 giá trị hàm số đang tăng thì f'x0 > 0, đang giảm thì f'x0 y' = f'x =limx→0fx0 + x - fx0x = dydx Về mặt hình học, đạo hàm tại x0 của fx chính là hệ số góc hay độ dốc của đường thẳng tiếp tuyến với hàm số y = fx tại điểm x0 chứng minh thì bạn tham khảo thêm ở Nếu hàm số fx có đường thẳng tiếp tuyến tại x0 thì mới có đạo hàm tại x0, ngược lại sẽ không có đạo hàm tại x0. Công thức đạo hàm y’ = f’x = dydx Độ dốc Độ dốc hay hệ số góc cho biết được hàm số tại điểm xác định đang tăng hay giảm một cách nhay hay chậm. Độ dốc của một đường thẳng trên một mặt phẳng được định nghĩa là tỉ lệ giữa sự thay đổi ở tọa độ y chia cho sự thay đổi ở tọa độ x m = yx = tanθ Độ dốc của tiếp tuyến của hàm số fx tại x0 được tính bằng cách tính đạo hàm tại x0 như đã nói ở trên. Vì sao lại đặt tên là độ dốc? Vì khi nó càng dốc thì hàm số thay đổi càng nhanh và ngược lại. Ví dụ khi độ dốc = 3 nghĩa là nếu tọa độ x thay đổi nhanh một thì tọa độ y tương ứng sẽ thay đổi nhanh gấp xấp xỉ 3 không phải tuyệt đối = 3. Đạo hàm cấp 2 Đạo hàm cấp 2 tại một điểm x0 trên đồ thị fx cho biết là đường cong của fx tại điểm x0 đó đang "cong" hướng lên trên hay xuống dưới. Điều này có ý nghĩa trong việc tìm giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất của đồ thị. Phía trên ta đã biết có thể tính được chóp của đồ thị bằng cách cho đạo hàm cấp 1 bằng 0 vì đồ thị đổi chiều khi f'x = 0 nhưng ta không biết được là nó đang đổi chiều từ đi xuống sang đi lên hay từ đi lên sang đi xuống. Nếu đồ thị fx đang đổi từ đi xuống sang đi lên nghĩa là đường cong của đồ thị tại chóp đang "cong" hướng lên và giá trị tại chóp chính là giá trị nhỏ nhất. Ngược lại, nếu đồ thị fx đang đổi từ đi lên sang đi xuống nghĩa là đường cong của đồ thị tại chóp đang "cong" hướng xuống và giá trị tại chóp chính là giá trị lớn nhất. Để nhận biết đồ thị đang "cong" hướng lên hay xuống tại điểm x0 thì ta chỉ cần tính đạo hàm cấp 2 tại x0 là được Nếu f''x0 > 0 thì đồ thị đang "cong" hướng lên, và nếu fx có chóp tại x0 thì fx có giá trị nhỏ nhất tại x0. Ngược lại, nếu f''x0 Tích phân là tổng của nhiều phần nhỏ. Và mỗi phần nhỏ này là tích của dx và fx. Đến đây ta có thể nhận ra tích phân và vi phân mang ý nghĩa trái ngược nhau, một thằng là tính tổng các phần nhỏ còn một thằng là tách thành các phần nhỏ. Nó chỉ ngược nhau về mặt ý nghĩa chứ không phải ngược nhau về nội dung công thức, vì công thức của vi phân là f’xdx còn của tích phân là tổng của các phần nhỏ fxdx. Vì có cách tính như vậy nên tích phân xác định khi x chạy từ a tới b cũng chính là diện tích của hình tạo bởi đồ thị hàm số fx và các đường thẳng x = a, x = b Chứng minh cho điều này thì bạn xem lại sách giải tích. Công thức tích phân ∫abfxdx Ta đã để cập tới được mối quan hệ của đạo hàm và vi phân, của vi phân và tích phân rồi, thế còn mối quan hệ của đạo hàm và tích phân là gì? Nhìn vào công thức và về mặt ý nghĩa rõ ràng ta không thấy có mối quan hệ nào giữa đạo hàm và tích phân, nhưng từ đạo hàm ta lại có thể tính được tích phân, đó chính là nội dung của công thức Newton-Leibniz Giả sử muốn tính tích phân của hàm số fx khi x chạy từ a tới b thì Công thức Newton-Leibniz S =∫abfxdx = gb - ga với gx là nguyên hàm của fx Vậy để tính tích phân xác định của một hàm số, nếu ta xác định được nguyên hàm của nó nguyên hàm là thứ ngược lại của đạo hàm => mối quan hệ của đạo hàm và tích phân chính là thông qua nguyên hàm thì ta sẽ dễ dàng tính được ngay. Kết luận Ta rút ra được mối quan hệ của đạo hàm, tích phân và vi phân như sau Đạo hàm - Vi phân Xét về mặt công thức thì vi phân của hàm tại x0 = đạo hàm của hàm tại x0 nhân với dx. Nhưng xét về mặt ý nghĩa thì đạo hàm và vi phân không có quan hệ gì với nhau hết. Đạo hàm dựa vào tỉ số dy/dx để ám chỉ sự biến đổi tức thì, còn vi phân dựa vào y’dx để lấy từng phần rất nhỏ trên hàm số y = fx. Tích phân - Vi phân Tích phân và vi phân mang ý nghĩa trái ngược nhau, một thằng là tính tổng các phần nhỏ còn một thằng là tách thành các phần nhỏ. Nó chỉ ngược nhau về mặt ý nghĩa chứ không phải ngược nhau về nội dung công thức, vì công thức của vi phân là f’xdx còn của tích phân là tổng của các phần nhỏ fxdx. Đạo hàm - Tích phân Từ đạo hàm có biểu thức là fx ta tính ngược lại nguyên hàm Fx, từ nguyên hàm Fx ta sẽ dễ dàng tính được tích phân xác định của fx. Shortlink I. Đạo hàm derivative 1. Định nghĩa đạo hàm Cho hàm số xác định trên D, . Cho số gia không phân biệt dương hay âm sao cho . Ta gọi là số gia của hàm số . Lập tỷ số Tìm giới hạn của tỉ số trên khi . Khi đó, giới hạn hữu hạn nếu có được gọi là đạo hàm của hàm số tại và ký hiệu Như vậy Nếu đặt , ta có Tổng quát – Đạo hàm trái nếu giới hạn tồn tại và hữu hạn thì giới hạn đó gọi là đạo hàm bên trái của fx tại . Ký hiệu – Đạo hàm phải nếu giới hạn tồn tại và hữu hạn thì giới hạn đó gọi là đạo hàm bên phải của fx tại . Ký hiệu – Từ tính chất của giới hạn ta có định lý sau Hàm số fx có đạo hàm tại khi và chỉ khi fx có đạo hàm trái và đạo hàm phải tại và các đạo hàm đó bằng nhau. Ví dụ 1 Cho hàm số Tìm Ta có Vậy Do đó fx không có đạo hàm tại x = 1. 2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm 3. Các định lý về đạo hàm Định lý 1 Nếu hàm số fx có đạo hàm tại thì fx liên tục tại điểm đó. Chiều ngược lại chưa chắc đúng. Chứng minh do fx có đạo hàm tại nên Theo định nghĩa giới hạn, ta có Từ đó Do nên là VCB cấp cao hơn khi Vì vậy Nghĩa là Hay Vậy fx liên tục tại – Chiều ngược lại không chắc đúng ta xét lại ví dụ 1 ở trên. Rõ ràng, hàm fx liên tục tại x = 1 nhưng không có đạo hàm tại điểm đó. – Phản ví dụ 2 Xét hàm số liên tục trên R nhưng không có đạo hàm tại x = 0. Định lý 2 quy tắc tính đạo hàm Nếu ux và vx là các hàm có đạo hàm tại x thì tổng, hiệu, tích thương cũng có đạo hàm tại x và ta có các công thức 1. 2. 3. Định lý 3 đạo hảm hàm số hợp Nếu có đạo hàm tại và xác định trong một khoảng chứa và có đạo hàm tại . Khi đó hàm có đạo hàm tại và Tổng quát Chứng minh Ta có Từ định nghĩa giới hạn, ta suy ra 1 trong đó khi Viết lại đẳng thức * ta có 2 Chia 2 vế của 3 cho ta có Mặt khác, do nên thì Vậy 4 Mà 5 Do đó từ 3, 4, 5 ta có . Định lý 4 đạo hàm hàm số ngược Cho hàm số y = fx liên tục và đồng biến hoặc nghịch biến trong khoảng a,b. Nếu fx có đạo hàm tại và thì hàm ngược của fx cũng có đạo hàm tại và Chứng minh Vì fx là hàm đồng biến nghịch biến trong khoảng a,b nên tồn tại duy nhất hàm ngược Khi đó, xét * Cho . do fx là hàm liên tục nên , hay Lấy giới hạn của * khi . ta có dpcm Ví dụ 1 Cho Tính Ta có Theo công thức ta có Mà do Nên Do đó Ví dụ 2 Cho . Tìm Ta có Nên Lại có Suy ra Vậy Ví dụ 3 Cho . Tính tương tự Suy ra Vậy Ví dụ 4 Cho . Tìm y’? Ta có Lại có Vậy còn tiếp Định nghĩa Cho f xác định trên khoảng mở I chứa x và y = fx. Giả sử, ta có \\Delta y{\rm{ }} = {\rm{ }}f\left {x{\rm{ }} + {\rm{ }}\Delta x} \right{\rm{ }} - {\rm{ }}f\left x \right{\rm{ }} = {\rm{ }}A.\Delta x{\rm{ }} + {\rm{ }}\varepsilon \left x \right.\Delta \left x \right\ với \\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \varepsilon x = 0\ và A không phụ thuộc \\Delta x\ thì ta nói \A.\Delta x\ là vi phân của f tại x. Khi đó ta ký hiệu vi phân của hàm f tại x là \dy{\rm{ }} = {\rm{ }}df\left x \right{\rm{ }} = {\rm{ }}A.\Delta x\. Nếu f có vi phân tại x, ta nói hàm số f khả vi tại x. Định lý Cho f xác định trên khoảng mở I chứa x và \y = fx\. Ta có f khả vi tại x ⇔ f có đạo hàm tại x. Chứng minh \ \Leftarrow \ Giả sử f có đạo hàm tại x \ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left[ {\frac{{fx + \Delta x - fx}}{{\Delta x}} - f'x} \right] = 0\ \\Rightarrow \Delta y = fx + \Delta x - fx = f'x.\Delta x + \varepsilon x.\Delta x\ với \\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \varepsilon x = 0 \Rightarrow f\ khả vi tại x. ⇒ Đảo lại, nếu f khả vi tại x thì ta có \\Delta y = A.\Delta x + \varepsilon x.\Delta x\ với A độc lập với \\Delta x\ và \\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \varepsilon x = 0\ \\Rightarrow \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = A + \varepsilon x\ với \\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \varepsilon x = 0\ suy ra \f'x = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = A\. Do đó, f có đạo hàm tại x. Nhận xét Từ định lý trên, ta có \dy{\rm{ }} = {\rm{ }}f'\left x \right.\Delta x\ là vi phân của hàm f tại x. Khi y = x thì \dy = dx = x'.\Delta x = 1.\Delta x = \Delta x\, nên ta viết \dy = f'xdx\,\,hay\,\,\frac{{dy}}{{dx}} = f'x\ dy là giá trị gần đúng của \\Delta y\ khi tức là \\Delta x \to 0\ tức là \dy \approx \Delta y\ khi \\Delta x \to 0\ Ví dụ Cho \y{\rm{ }} = {\rm{ }}3\left {{x^2}{\rm{ }} - 5x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}dy{\rm{ }} = {\rm{ }}3\left {2x{\rm{ }} - 5} \rightdx\ \\Rightarrow y' = 32x - 5 = \frac{{dy}}{{dx}}\ Tính gần đúng Cho f là hàm số xác định trên khoảng mở I chứa x sao cho \x + \Delta x \in I\ và khả vi tại X. Ta có \fx + \Delta x \approx fx + \Delta khi \\Delta x\ khá nhỏ Ví dụ 1 Cho ln4 , tính gần đúng \ln4,001; ln4,002; ln4,005\. Đặt \fx = lnx \Rightarrow f'x = \frac{1}{x}\ \\Rightarrow {\rm{ }}f\left {x{\rm{ }} + {\rm{ }}\Delta x} \right{\rm{ }} - {\rm{ }}f\left x \right{\rm{ }} = {\rm{ }}f'{\rm{ }}\left x \right.\Delta x{\rm{ }} + {\rm{ }}o\left {\Delta x} \right\ \ \Rightarrow {\rm{ }}ln\left {x{\rm{ }} + {\rm{ }}\Delta x} \right{\rm{ }} - {\rm{ }}lnx{\rm{ }} \approx {\rm{ }}f'\left x \right.\Delta x{\rm{ }}\left {\Delta x{\rm{ }} \to 0} \right\ \\Rightarrow {\rm{ }}ln\left {x{\rm{ }} + {\rm{ }}\Delta x} \right{\rm{ }} \approx {\rm{ }}lnx{\rm{ }} + {\rm{ }}f\left x \right.\Delta x\ khi \\Delta x\ khá nhỏ \ln4,001 = ln4 + 0,001\ \\approx {\rm{ }}ln4{\rm{ }} + {\rm{ }}\frac{1}{4}.0,001{\rm{ }} = {\rm{ }}ln4{\rm{ }} + {\rm{ }}0,00025\ \ln\left {4,002} \right{\rm{ }} = {\rm{ }}ln\left {4{\rm{ }} + {\rm{ }}0,002} \right{\rm{ }} \approx {\rm{ }}ln4{\rm{ }} + {\rm{ }}f\left 4 \right.0,002\ \= {\rm{ }}ln4{\rm{ }} + {\rm{ }}\frac{1}{4}{\rm{ }}.0,002{\rm{ }} = {\rm{ }}ln4{\rm{ }} + {\rm{ }}0,0005\ \ln4,005{\rm{ }} \approx {\rm{ }}ln4{\rm{ }} + {\rm{ }}\frac{1}{4}.0,005{\rm{ }} = {\rm{ }}ln4{\rm{ }} + {\rm{ }}0,00125{\rm{ }}\ Ví dụ 2 Tính gần đúng \sin 31°, sin 29°\ \sin{\rm{ }}{31^0} = \sin \left {\frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{{180}}} \right \approx \sin \left {\frac{\pi }{6}} \right + \frac{\pi }{{180}}.\cos \frac{\pi }{6}\ \sin{\rm{ 2}}{{\rm{9}}^0} = \sin \left {\frac{\pi }{6} - \frac{\pi }{{180}}} \right \approx \sin \left {\frac{\pi }{6}} \right - \frac{\pi }{{180}}.\cos \frac{\pi }{6}\ Ví dụ 3 Tính gần đúng \\sqrt[3]{{126}}\ Xét \fx = \sqrt[3]{x} \Rightarrow f'x = \frac{1}{{3\sqrt[3]{{{x^2}}}}}\ Với x = 125 và h = 1, sử dụng công thức tính gần đúng \fx + h \approx fx + có \\sqrt[3]{{126}} = \sqrt[3]{{125 + 1}} \approx \sqrt[3]{{125}} + 1.\frac{1}{{3\sqrt[3]{{{{125}^2}}}}} = 5 + \frac{1}{{75}}\ 2. Qui tắc tính vi phân Cho f, g là các hàm khả vi tại x \1\,\,df \pm gx = dfx \pm dgx\ \2\,\,dkfx = \3\,\,d = dfx.gx + fx.dgx\ \4\,\,d\left {\frac{f}{g}} \rightx = \frac{{gxdfx - fxdgx}}{{{g^2}x}}\,\,\,gx \ne 0\ Chứng minh Do tính chất đạo hàm và nếu y = fx khả vi tại x thì \dy=dfx=f'xdx\ Ví dụ \h = \frac{f}{g}\ với f, g khả vi tại x ta có \d\left {\frac{f}{g}} \rightx = dhx = h'xdx = \left {\frac{{f'g - g'f}}{{{g^2}}}} \rightxdx = \frac{{gxdfx - fxdgx}}{{{g^2}x}}\ 3. Tính bất biến của vi phân bậc I Cho \z = gy\ khả vi tại y, với y là biến độc lập. Ta có \dz = g'ydy\ Cho \z = gy\ với y là hàm theo x và \y = fx\ khả vi. Ta có \z'x = z'{\rm{x}} = \frac{{dz}}{{dx}}[g[fx]]' = g'[fx].f'x\ \\Rightarrow {\rm{ }}dz{\rm{ }} = {\rm{ }}g'\left[ {fx} \right.f'\left x \rightdx{\rm{ }} = {\rm{ }}g'\left[ {f\left x \right} \right].dy{\rm{ }} = {\rm{ }}g'y.dy\ Như vậy, biểu thức \dz = g'y.dy\ không thay đổi dù y là biến độc lập hay là hàm theo một biến khác. 4. Vài định lý cơ bản Định nghĩa Cho f xác định trên khoảng mở I chứa x0. Nếu \\exists h > 0\ sao cho \fx \le f{x_0},\forall x \in {x_0} - h,{x_0} + h \cap I\ thì ta nói f đạt cực đại địa phương tại x0. Tương tự, f đạt cực tiểu địa phương tại x0 nếu \\exists h > 0\ sao cho \fx \ge f{x_0},\forall x \in {x_0} - h,{x_0} + h \cap I\ Cực đại địa phương hay cực tiểu địa phương gọi chung là cực trị địa phương. Bổ đề Fermat Cho f xác định trên khoảng mở a,b. Nếu f đạt cực đại địa phương tại \{x_0} \in a;b\ và f'x0 tồn tại thì fx0 = 0. Chứng minh Vì f đạt cực đại tại x0 nên \\exists h > 0fx \le f{x_0},\forall x \in {x_0} - h,{x_0} + h \subset a,b\ Xét \x \in a,b\ và \x_0- h 1 thì công thức * không còn đúng nếu x không phải là biến độc lập x là một hàm theo t. Ví dụ Cho \y = fx\ là hàm khả vi và \x = \varphi t\ là hàm khả vi. Ta có \dy{\rm{ }} = {\rm{ }}f'\left x \rightdx{\rm{ }} = {\rm{ }}f'\left {\varphi \left t \right} \right.\varphi '\left t \rightdt\ \\Rightarrow {d^2}y = \left[ {f'\varphi t.\varphi 't} \right]'d{t^2}\ \= \left[ {f''\varphi t.\varphi 't.\varphi 't + \varphi ''tf'\varphi t} \right]d{t^2}\ \= f''\varphi t.{\left[ {\varphi 'tdt} \right]^2} + f'\varphi t.\varphi ''td{t^2}\ \= f''xd{x^2} + f'x.{d^2}x\ \\Rightarrow y'' = \frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} = \frac{{f'x{d^2}x}}{{d{x^2}}} + f''x\ Nhân xét Nếu x là biến độc lập thì \dx = \Delta x\ hàng số. Khi đó \{d^2}x = \Delta x'dx = 0dx = 0\ Ví dụ \y{\rm{ }} = {\rm{ }}\left {{x^5}{\rm{ }} - {\rm{ }}8{x^2}} \right\ thì \dy = 5x^4 - 16xdx\ Và \{d^2}y = 20{x^3} - 16d{x^2};\,y'' = \frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} = 20{x^3} - 16\

vi phân khác đạo hàm